a) Xét ΔAMK vuông tại A và ΔCMH vuông tại C có 

MA=MC(M là trung điểm của AC)

\(\widehat{AMK}=\widehat{CMH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAMK=ΔCMH(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: AK=CH(hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AKCH có 

AK//CH(\(\perp AC\))

AK=CH(cmt)

Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Bài 1 : 

Đổi \(3h20p=\frac{10}{3}h\)

\(3h40p=\frac{11}{3}h\)

Gọi vận tốc của xe máy thứ nhất là: x(km/h) (x>3)

=> Vận tốc của xe máy thứ hai là: x−3(km/h)

Quãng đường xe máy thứ nhất đi từ A đến B là: \(\frac{10}{3}x\left(km\right)\)

Quãng đường xe máy thứ hai đi từ A đến B là: \(\left(x-3\right).\frac{11}{3}\left(km\right)\)

Vì quãng đường từ A đến B là bằng nhau nên ta có phương trình: 

\(\frac{10}{3}x=\left(x-3\right).\frac{11}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=33\) ( nhận)

=> Vận tốc của xe máy thứ hai là: 33−3=30(km/h)

=> Quãng đường từ A đến B: \(\frac{10}{3}.33=110\left(km\right)\)

Vậy xe thứ nhất đi với vận tốc 33km/h, xe thứ hai đi với vận tốc 30km/h và quãng đường AB là 110km 

Bài 2 : 

a.Vì ◊ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow AC\) là phân giác \(\widehat{BAD}\)

\(\Rightarrow AE\) là phân giác \(\widehat{BAM}\Rightarrow E\) nằm giữa cung BM

\(\Rightarrow EM=EB\Rightarrow\Delta BEM\) cân tại E 

Mà BM là đường kính của (O)

\(\Rightarrow\widehat{BEM}=90^0\Rightarrow\Delta BEM\) vuông cân tại E 

b ) Vì ◊ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow AC\) là trung trực của BD 

Mà \(E\in AC\Rightarrow\Delta EMD\) cân tại E 

\(\Rightarrow\widehat{EMD}=\widehat{EDM}\)

\(\Rightarrow90^0-\widehat{EMD}=90^0-\widehat{EDM}\)

\(\Rightarrow\widehat{EKD}=\widehat{EDK}\)

=> ED=EK 

\(\Rightarrow EK=ED=EM=EB\Rightarrow B,M,D,K\in\left(E,ED\right)\)

d . Từ câu c 

=> ◊ BKDM nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{MBK}=180^0-\widehat{MDK}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow BK\perp BM\Rightarrow OB\perp BK\)

\(\Rightarrow BK\) là tiếp tuyến của (O) 

* Nên ghi rõ đề ra nha bạn ( có vài ý là mình bổ sung vào ) *

a) Xét \(\Delta ABO\)và \(\Delta AEO\)ta có:

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{ACE}\left(=90^o\right)\)

\(\text{AD chung}\)

\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta AEO\text{ }\)\(\text{(*)}\)

b) Từ \(\text{(*)}\)\(\Rightarrow AB=AE\)( hai cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\Delta ABE\)là tam giác cân

c) Từ \(\text{(*)}\)\(\Rightarrow OB=OE\)( hai cạnh tương ứng ) 

Mà \(AD\perp BE\Rightarrow AD\)là đường trung trực của \(BE\)

d) Xét \(\Delta ABE\)ta có:

\(AO\)và \(BK\)là đường cao cắt nhau tại \(M\)

\(\Rightarrow M\)là trực tâm của tam giác

\(\Rightarrow EM\)là đường cao của tam giác

\(\Rightarrow ME\perp AB\)mà \(AB\perp BC\)

\(\Rightarrow ME//BC\)